数字逻辑基础

布尔代数定义及其公理系统

定义

• 逻辑量：逻辑变量和逻辑常量｛0,1｝。

• 逻辑变量：在数字系统中表示某个状态。
• 通常用字母或字符串来表示；
• 只有两种取值：“真”或“假”；
• “真”记作“1”，数字电路中表示为高电平；
• “假”记作“0”，数字电路中表示为低电平；
• 0和1不表示数值的大小，只表示完全相反的两种状态。

• 逻辑表达式；用逻辑运算符将逻辑量连接起来的代数式。其运算结果是一个逻辑值。

• 逻辑函数：表明输入和输出变量之间的逻辑关系。

• 逻辑运算
• 与运算：逻辑乘
• 或运算：逻辑加
• 非运算：取反，否定

公理

• 排中律：非真即假

• 真假相对

• 常量运算公理

定理

• 单变量定理
• 一致性
• 空元素
• 同一律
• 还原律
• 互补律

可用完备归纳法证明（真值表）

• 多变量定理
• 交换律
• 结合律
• 分配律
• (X+Y)·(X+Z)=X+Y·Z
• X·(Y+Z)=X·Y+X·Z
• 吸收律
• X+X·Y=X
• 组合律
• X·Y+X·~Y=X
• (X+Y)·(X+~Y)=X
• 一致律
• X·Y+~X·Z+Y·Z=X·Y+Y·Z

• 多元公式

对偶定律

• 对偶式

• 对偶定律：若两个式子相等，则他们的对偶式相等

反演定律

• 对于任意一个逻辑式Y，若将其中所有的“与”换成“或”，“或”换成“与”，0换成1，1换成0，原变量变成反变量，反变量变成原变量，则得到一个新的逻辑式即为逻辑式Y的非（Y'）。这个规律称为反演定理。

• 注意：
• 先括号，然后与，然后或
• 不属于单个变量的取反不进行取反

逻辑门与数学抽象

逻辑门

• 逻辑门
• 逻辑门电路（logic gate）是最基础的数字电路，是输入和输出信号间逻辑关系的物理实现电路，能够对输入信号实现基础的共性逻辑操作。
• 一个或多个输入信号
• 一个输出信号
• 具有允许或禁止信号传输的功能，也称为门电路。
• 输入信号和输出信号之间逻辑关系使用真值表或者逻辑表达式来描述。
• 真值表是一个二维表
• 表头左侧是输入信号，右侧是输出信号；
• 按顺序列出所有可能的输入组合和其对应的
• 输出信号值。
• 逻辑表达式就是用逻辑运算符来连接逻辑变量。
• 与、或非运算有自己的运算符
• 几个逻辑门
• 基本逻辑门：与门或门非门
• 与非门和或非门
• 异或门与同或门

数字抽象

• 模拟信号与数字信号
• 模拟信号
• 连续的
• 时间上的连续：任意时刻有一个相对应的值
• 数值上的连续：任意时刻可以是在一定范围内的任意值
• 例如：电压，电流，温度，亮度，颜色等
• 缺点
• 精度受限，很难度量
• 不稳定，容易受噪声的干扰
• 难以保存
• 优点：表示事物比较准确
• 数字信号
• 非连续（离散）
• 时间上离散
只在某些时刻有定义
• 数值上离散
只能是有限集合中的一个值
• 如数字声音、图像、视频、电影特技等
• 优点：结果重复，设计简单，功能灵活，可编程HDL
📌
数字系统的底层实际上是模拟信号

• 数字抽象
• 电路中信号的物理属性到数字属性的映射
• 物理属性：连续，无穷取值
• 数字属性：离散，有限取值，常为逻辑1，0
• 解决方案：设定一个阈值，用来判定1，0
• 输入，输出电平的逻辑采样

• 直流噪声容限
• 直流噪声容限DC noise margin是一种对噪声程度的度量，表示多大的噪声会使最差输出电压被破坏，成为不可被输入端识别的值。
• 高态直流噪声容限
• 低态直流噪声容限

CMOS晶体管

• 半导体物理
• 硅，silicon，最外层四个电子
• 半导体中的载流子有电子和空穴两种，通过改变载流子的数量可以改变导电特性
• 参杂三价元素如硼，镓，可以增加空穴，形成P型参杂
• 参杂五价元素如磷，砷，可以增加电子，形成N型参杂



• MOS晶体管
• 基于金属氧化物半导体场效应晶体管的CMOS（Complementary Metal-Oxide Semiconductor)
• MOS晶体管三极：
• 栅极gate
• 源极source
• 漏极drain
• MOS晶体管可被模型化为一种3端子压控电阻导体，将电压加到一个端子，来控制其他两个端子间的电阻
• MOS晶体管分为：
• n沟道型NMOS，N型杂质有磷或者锑
• p沟道型PMOS，P型杂质有硼或者铟

• MOS晶体管
• 基于金属氧化物半导体场效应晶体管的CMOS（Complementary Metal-Oxide Semiconductor)
• MOS晶体管三极：
• 栅极gate
• 源极source
• 漏极drain



• MOS晶体管可被模型化为一种3端子压控电阻导体，将电压加到一个端子，来控制其他两个端子间的电阻
• 原理
• MOS晶体管分为：
• n沟道型NMOS，N型杂质有磷或者锑
• 就是上图，电压低于阈值电压不导通，高于才导通
• p沟道型PMOS，P型杂质有硼或者铟
• 符号标记
• 箭头表示PN结的方向





• CMOS晶体管
• 上面是PMOS，下面是NMOS
• 栅极和漏极共用，分别连接到输入和输出信号。
• NMOS 晶体管的源极连接地线GND
• PMOS 晶体管的源极连接电源电压
• 通过改变栅极的输入电压值，从而改变漏极的输出电压值。
• 可以看成电压控制开关



👉
上面这样上面接输入电压，下面接地，就构成了非门
• 或门
• 两个PMOS串联，两个NMOS并联，结果再取反
• 去掉非门变成或非门



• 与门
• 两个NMOS串联，PMOS并联，再取反
• 去掉非门变成与非门



• 异或门
• 同或门
• 对异或门取反！
• 传输门TG
• 传输门（transmission gate）由一对CMOS 晶体管以及控制信号EN构成。
• 信号EN用于控制晶体管的导通与截止, 其功能相当于一个逻辑控制开关。
• 传输门的传播延迟非常短、电路简单，可双向传输。
• EN低态时两个晶体管都断开，反之都导通
• 上下两个位置类似于开关



 

CMOS电路电气特性

• 转换时间 transition time
• 逻辑电路的输出信号从一种状态转换到另一种状态所需的时间
• 上升时间 rise time tr：从低态到高态。
• 下降时间 fall time tf ：从高态到低态。

• 传播延迟(tp，propagation delay)
• 从输入信号变化到产生输出信号变化所需的时间。
• 信号通路signal path：是指一个特定输入信号到逻辑元件的特定输出信号所经历的电气通路。
• ：输入变化引起相应输出从高到低变化的时间。
• ：输入变化引起相应输出低到高变化的时间。



 

• 功耗
• 数字电路在输出信号保持不变时的功率损耗称为静态功耗，通常CMOS电路的静态功耗很低，常忽略。
• 在输出信号高低状态转换时的功率损耗称为动态功耗。主要来源：
• 输出端上的电容性负载
• CMOS电路内部的功耗电容
• 动态功耗：，f 为输出信号转换的频率
• 在CMOS电路的应用中， 功率是总功率的主要成分

逻辑关系描述

逻辑函数

• 逻辑函数就是反应输入变量与输出变量逻辑关系的函数

• 对于一个固定的输入值，输出值固定

• 每个逻辑函数有固定的输出组合

真值表与波形图

• 真值表 true table：用二维表的形式列出逻辑函数所有的输入组合和对应的输出值。
• 标题栏左侧为输入组合，右侧对应输出。
• 输入组合通常按照递增顺序排列，输出写在相邻的列中。
• n个输入变量逻辑函数的真值表有2行。
• 当n较大时，真值表将变得十分巨大而失去使用价值。

• 波形图描绘了逻辑函数输出变量对于输入变量的变化所产生的响应。在理想状态下，忽略时间延迟。
• 横轴表示时间；纵向用横线的高低来表示逻辑值大小
• 完整的波形图至少需要列出所有的输入组合和所对应的输出值

标准范式表示

• 逻辑函数的标准表示
• 乘积项：包含1个或1个以上逻辑变量的与项
• 求和项：包含1个或1个以上逻辑变量的或项
• “与-或”表达式或积之和表达式（Sum of Product,SOP）：多个乘积项的或运算。
• “或-与”表达式或和之积表达式（Product of Sum,POS）：多个求和项的与运算。
• 标准乘积项：即是极小项
• 标准求和项：即是极大项

逻辑函数化简与变换

• 减少输入变量的数目
• 最小项和最大项的数目随变量数呈指数级增长

• 减少门的数目
• 可以使用更小的集成电路器件

• 减少电路的规模
• 门越少速度越快；可以减少电路层级数。

代数化简法

卡诺图化简法

• 卡诺图(Karnaugh map)，真值表的图形化表示，把能化简的最小项通过相邻项合并的可视化方式标识出来。

• n个变量的卡诺图是一个含有2"个单元的矩阵图

• 每一行和每一列的编号对应逻辑变量的输入组合，0表示反变量，1 表示原变量

• 编号按照格雷码的顺序排列，即相邻编号只有1位不同

• 根据格雷码的规则，空间位置上（上下、左右或首尾）相邻的小方格输入逻辑相邻（类似贪吃蛇）
📌
相差1的都相邻

• 卡诺图每个单元对应一个最小项，其中标注该最小项在真值表中的输出值，如果输出为1，则称为“1单元”

• 若两个“1单元”相邻，则表示两个最小项仅1个变量不同，该变量在一个方格中为原变量，在另一个方格中则为反变量。

• 根据T10，这两个最小项可合并为一个乘积项，并消去那个不相同的变量

• 相邻单元数越多可消去的变量数越多

• 相邻个“1单元”的最小项可以合并成一个乘积项，并消去i个不同的变量

• 使用一个方框来标注可以合并的“1单元”，这个方框称为卡诺圈



 

• 蕴含项
• 蕴涵项是一个乘积项，覆盖了逻辑函数的1个或多个最小项。
• 质蕴涵项（prime implicant）：没有被该逻辑函数的其它单个蕴涵项所覆盖的蕴涵项。
• 实质蕴涵项（essential prime implicant）：覆盖的最小项中至少有一个最小项没有被其它所有质蕴涵项所覆盖的质蕴涵项。
• 质蕴涵项覆盖的最小项越多越可能是实质蕴涵项。
• 如果一个逻辑函数的所有最小项都被一个蕴含项覆盖，则称这个为逻辑函数的一个覆盖（cover）
• 一定包含了所有的实质蕴涵项。
• 最小覆盖是包含质蕴涵项数最少的，并且质蕴涵项中的变量总数也是最少的。
• 逻辑函数化简问题就转化为寻找该函数的最小覆盖问题。



 
• 逻辑函数卡诺图化简的关键：找出和选择质蕴涵项，一般步骤如下；
1. 根据逻辑表达式，列出真值表，构建卡诺图
2. 找出卡诺图中的所有质蕴涵项从覆盖范围最大的质蕴涵项开始
3. 找出所有的实质蕴涵项
4. 在剩余的质蕴涵项中寻找一个最小的覆盖，该覆盖包含那些没有被实质蕴涵项所覆盖的最小项

逻辑函数变换

• 等效符号

• 特定门类型